「因数分解っていつ習うんだろう？」「なんだか難しそうだけど、公式とか覚えればいいの？」そんな疑問を持つ中学生や高校生の皆さん、こんにちは！
今日は、因数分解を学ぶタイミングや理由、そして公式ややり方を塾講師の視点で分かりやすく解説します。
因数分解は、実はこれからの数学をスムーズに学ぶためにとっても重要な内容なんです。
「分かりやすい！」と思える授業形式でお届けしますので、この記事を読んで因数分解マスターを目指しましょう！
因数分解はいつ習う？中学・高校での学習タイミング
因数分解は主に中学3年生で学びます。そして高校ではさらに発展的な内容として登場し、数学の基礎力が試されます。
以下では、それぞれの学習内容や理由について具体的に見ていきましょう。
因数分解を習う学年はいつ？【中学と高校の違い】
中学では因数分解は主に 中学3年生 で学びます。
このタイミングで習う理由は、因数分解が方程式を解く際に必要なスキルだからです。
例えば、以下のような2次方程式を解くとき、因数分解を使います。
x² + 5x + 6 = 0
この式を解くには、因数分解で次のように変形します。
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0
この形にすると、「掛け算の結果が0なら、どちらかの因数が0」という性質を使って解が求められます。
x + 2 = 0 または x + 3 = 0
したがって、解は x = -2, -3 です。このように、因数分解は中学数学の中でも応用範囲が広いテーマです。
中学数学での因数分解の位置づけと学ぶ理由
中学では、因数分解は「式の展開」の逆の操作として学びます。式の展開が理解できていると、因数分解もスムーズに学べるので、まずは展開を復習してみましょう。
展開の例
以下の式を展開します。
(x + 3)(x + 2)
分配法則を使うと、
x² + 2x + 3x + 6
= x² + 5x + 6
因数分解では、この展開された形を元に戻します。つまり、「どのような2つの因数をかけたらこの形になるか？」を考えるのです。
ポイント
因数分解は、「足して5になる2つの数」と「掛けて6になる2つの数」を見つける作業だと思ってください。この例では、足して5、掛けて6になる組み合わせは 2と3 です。
高校数学での因数分解の応用範囲とは？
高校に進むと、因数分解はより複雑な場面で使われます。例えば、次のような3次式を因数分解する問題が登場します。
x³ – 3x² – 4x + 12
まず、共通因数を見つけてくくり出します。
x²(x – 3) – 4(x – 3)
次に、共通部分をまとめて因数分解します。
(x² – 4)(x – 3)
さらに、差の二乗公式を使います。
(x – 2)(x + 2)(x – 3)
こうした手順がスムーズに行えるようになるため、中学の段階で基礎を固めておくことが重要です。
因数分解を学ぶ前に理解しておきたい基礎知識【展開や式の計算】
因数分解を学ぶ前に、次の3つのポイントを押さえましょう。
1.展開公式 を覚える
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2.共通因数を見つけるスキル
2x + 4y = 2(x + 2y)
3.掛け算と割り算の基本
x² – 4 = (x – 2)(x + 2)
これらを練習しておくと、因数分解が簡単に感じられるようになります。
日本と海外の教育課程での因数分解の習得タイミングの違い
興味深いことに、因数分解を学ぶタイミングは国によって異なります。
日本では中学3年生で教えますが、アメリカやヨーロッパの一部の国では、高校の基礎数学で習うこともあります。
これは、教育課程が国ごとに異なるためです。ただし、因数分解の重要性はどの国でも変わりません。数学を理解する上で欠かせないスキルであることに変わりはないのです。
因数分解いつ習うか分かったら：公式＆やり方
因数分解をマスターするには、公式を正しく覚え、実際の問題にどんどん挑戦することが大切です。
ここでは、公式の一覧ややり方、具体例を通じてステップごとに分かりやすく解説します。
因数分解の基本公式一覧【初学者向け】
因数分解にはいくつかの公式があります。
これらを使いこなすことで、多くの問題がスムーズに解けるようになります。
1.共通因数でくくる
ax + ay = a(x + y)
2.平方の公式
a² – b² = (a + b)(a – b)
3.完全平方公式
a² + 2ab + b² = (a + b)²
4.和と積の公式
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
これらの公式を暗記するだけでなく、実際に使ってみることが大切です。
よく使う因数分解の公式とその覚え方【たすきがけのやり方も解説】
特に重要なのは「たすきがけ」を用いた因数分解のやり方です。
以下の例で具体的に解説します。
例題：次の式を因数分解しましょう。
6x² + 7x + 2
1.係数を分解します。6と2をかけると12です。
2.足して7になる組み合わせを探します：3と4が該当します。
3.たすきがけの形に分けます。
6x² + 3x + 4x + 2
4.前半と後半をそれぞれ因数分解します。
3x(2x + 1) + 2(2x + 1)
5.共通因数でまとめます。
(3x + 2)(2x + 1)
これがたすきがけの基本的な流れです。
因数分解を効果的に学ぶ勉強方法【ステップごとの学習法】
因数分解を効率よく学ぶためには、次のステップで進めると良いでしょう。
1.公式を暗記する
→紙に書き出したり、声に出して覚えたりしましょう。
2.簡単な例題を解く
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
3.応用問題に挑戦する
3x² + 11x + 10 = (3x + 5)(x + 2)
4.間違えた問題を復習する
自分が間違えた箇所を特定し、公式の使い方を再確認しましょう。
中学・高校入試でよく出る因数分解の例題と解き方
中学・高校入試では、次のような問題がよく出題されます。
例題1
次の式を因数分解しなさい。
x² – 9
解答
これは 平方の公式 を使います。
x² – 9 = (x + 3)(x – 3)
例題2：次の式を因数分解しなさい
x² + 6x + 8
解答
足して6、掛けて8になる組み合わせを探します（2と4）。
次のように因数分解します。
x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
因数分解でつまずく理由とその克服法【子ども向けの教え方】
因数分解でつまずく主な理由は次の通りです：
- 公式を覚えていない
→ 覚えるだけでなく、例題で使い方を練習することが大切です。 - 計算ミスが多い
→ ゆっくり丁寧に計算し、答えを確認する癖をつけましょう。 - 問題が複雑で分解できない
→ 共通因数を見つける練習を繰り返しましょう。
これらのポイントを意識すれば、因数分解は決して難しくありません！
総括：因数分解いつ習う？のまとめ
最後に、本記事のまとめを残しておきます。
因数分解を学ぶタイミング
- 中学3年生で学ぶ。
- 高校ではさらに発展的な内容として登場し、応用範囲が広がる。
因数分解を学ぶ理由
- 方程式を解くために必要なスキル。
- 「式の展開」の逆操作として重要。
- 高校数学や応用問題で基礎となる。
因数分解の基本公式
- 共通因数でくくる：
ax + ay = a(x + y) - 平方の公式：
a² – b² = (a + b)(a – b) - 完全平方公式：
a² + 2ab + b² = (a + b)² - 和と積の公式：
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
たすきがけのやり方
- 係数の積を計算する。
- 足して中間項の係数になる数を探す。
- 項を分割して因数分解する。
- 共通因数でまとめる。
因数分解を効果的に学ぶ勉強法
- 公式を暗記する。
- 簡単な例題を解く。
- 応用問題に挑戦する。
- 間違いを復習する。
中学・高校入試での頻出問題
- 平方の公式や和と積の公式を使った問題。
- 具体例：
x² – 9 = (x + 3)(x – 3)x² + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
因数分解でつまずく理由と克服法
- 公式を覚えていない：覚えるだけでなく、例題で反復練習。
- 計算ミス：丁寧に確認する癖をつける。
- 問題が複雑すぎる：共通因数を見つける練習を繰り返す。
日本と海外の教育課程の違い
- 日本では中学3年生で学習。
- アメリカやヨーロッパでは高校基礎で教えることが多い。
因数分解の重要性
- 中学数学の応用範囲が広いテーマ。
- 高校数学や入試問題の基盤となるスキル。