【三平方の定理】一辺しかわからない時の解法パターンを解説

今日は「三平方の定理」について解説します。

特に、「一辺しかわからない時どうやって解くの？」という疑問を持っている方に向けて、詳しく教えます。

直角三角形の問題って最初は難しそうに見えるけれど、実はパターンを覚えればスムーズに解けるんですよ。

授業のように分かりやすく説明していくので、一緒に解法をマスターしましょう！

三平方の定理：一辺しかわからない場合の解法

三平方の定理は、数学の中でも基本でありながら奥が深い公式です。この公式を使いこなせるようになると、平面図形や空間図形の問題がグッと解きやすくなります。

ただ、「一辺しかわからない場合はどうすればいいの？」と迷うことも多いでしょう。ここでは、一辺だけが与えられた場合に他の辺を求める解法パターンを解説します。

三平方の定理の公式と基本の確認

まずは三平方の定理の公式を確認しましょう。

この公式は、直角三角形の3辺の関係を示すものです。

公式は次の通りです。

ここで、

• a：直角を挟む1つ目の辺（隣辺）
• b：直角を挟むもう1つの辺（隣辺）
• c：斜辺（直角の向かいにある最も長い辺）

例えば、次の直角三角形を考えます：

• a=3
• b=4
• cを求める

この場合、公式に代入するとこうなります。

つまり、斜辺の長さは5です！

公式に数字を代入して計算するだけで、他の辺の長さが簡単に求められるんですね。

一辺しかわからない場合に必要な条件とは？

「三平方の定理を使うには、2辺の長さがわかっていないとダメなんじゃないの？」と思うかもしれません。

確かにその通りです。ただし、1辺しかわからない場合でも、角度や比率を使えば残りの辺を求めることができます。

ポイントは以下の通りです。

1. 角度が与えられている場合（例：30°や45°など）
2. 特殊な直角三角形（例：1:1:√2​など）を利用する場合
3. 他の図形情報（補助線など）を利用する場合

これらを組み合わせると、1辺だけでも解ける問題が多いんですよ！

有名な比（ピタゴラス数）を使って解く方法

三平方の定理では、特定の辺の比率を覚えておくと計算がグッと楽になります。たとえば、次の「ピタゴラス数」を覚えておきましょう：

1. 3:4:5
2. 5:12:13
3. 8:15:17

これらは、三平方の定理を満たす辺の比率です。問題でこれらの形に当てはまる場合、計算しなくても答えがわかります！

例題：次の直角三角形で斜辺を求めなさい。

• a=6、b=8

解説：比率が「3:4:5」の2倍（6:8:10）になっていることに気づきますね。したがって、斜辺は10です！

角度をヒントに残りの辺を求める方法

1辺しかわからない場合、直角三角形の角度に注目するのがポイントです。

特に、次の特殊な直角三角形の比率を覚えておきましょう：

• 30°-60°-90°：1:√3​:2
• 45°-45°-90°：1:1:√2​

例題：次の三角形で他の辺の長さを求めなさい。

• 与えられた情報：直角三角形の1辺の長さが5、角度が30°。

解説：
30°-60°-90°の比率は「1:√3​:2」です。

• 直角に隣接する短辺（1に対応）が5なので、斜辺はこう計算できます。

もう1つの辺はこうです。

答え：斜辺は10、もう1つの辺は5√3​。

例題で学ぶ「一辺しかわからない」問題の解法

例題：直角三角形の1辺の長さが7、角度が45°のとき、他の辺の長さを求めなさい。

解説：45°-45°-90°の三角形では、比率が「1:1:√2」です。したがって、直角に隣接する辺は同じ長さになります。

与えられた辺をaとするとこう計算できます。

これより、

答え：他の2辺は7と7√2​です！

【三平方の定理】一辺しかわからない問題を解決した後に

直角三角形を見つけるコツ

図形問題では、三平方の定理を使う直角三角形を見つけることが重要です。

以下のポイントを押さえましょう。

1. 直角を見逃さない
   問題文や図中の「直角」の記号に注目します。
2. 補助線を引く
   複雑な図形の場合、補助線を引いて直角三角形を作ります。
3. 斜辺を探す
   最も長い辺が斜辺になります。

例題：次の図形で直角三角形を見つけ、三平方の定理を使って斜辺を求めなさい。

• 与えられた情報：長方形の縦が6、横が8。

解説：
長方形の対角線を斜辺とする直角三角形ができます。
直角を挟む辺の長さが6と8なので以下のような計算になります。

答え：対角線の長さは10。

平方根を含む計算の攻略法

平方根を使う計算は、慣れないうちはミスしがちです。次の3つのコツを押さえましょう：

1. 平方根の簡約
   例：√50=√25×2=5√2。
2. 分母の有理化
   例：1/√2=2√2。
3. 途中計算を省略しない
   ステップを飛ばすとミスが増えるので、式をきちんと書きましょう。

例題：次の直角三角形で斜辺を求めなさい。

• a=5、b=5。

解説：
直角を挟む2辺が等しいので、45°-45°-90°の直角三角形と分かります。

斜辺はこう求めます。

答え：斜辺は5√2。

受験で差がつく三平方の定理の応用問題

三平方の定理を使う応用問題は、入試や模試で頻出です。

以下の例題を解いてみましょう。

例題1：空間図形の対角線の長さを求める

• 直方体の縦が3、横が4、高さが5の場合、対角線の長さを求めなさい。

解説：対角線は空間図形の斜辺に相当します。三平方の定理を2回使います。

1.底面の対角線を求める

2.高さを加えて対角線を求める

答え：対角線の長さは5√2​。

覚えておくべき「頻出の辺の比」と語呂合わせ

覚えておくべき比は以下の通りです。

1. 3:4:5
2. 5:12:13
3. 1:1:√2
4. 1:2:√3\

語呂合わせで覚えましょう。

• 3:4:5 → 「サ・ヨ・コ」
• 5:12:13 → 「コ・イツが兄さん」
• 1:2:√3​ → 「イチ・ニ・サンカク」

三平方の定理をマスターする練習問題と解説

最後に、練習問題を解いて知識を定着させましょう！

練習問題1：直角三角形で、a=9、斜辺c=15のとき、残りの辺bを求めなさい。

解説：三平方の定理を使います。

答え：残りの辺は12。

総括：三平方の定理で一辺しかわからない時の解法まとめ

最後に、本記事のまとめを残しておきます。

三平方の定理の基本

• 公式：直角三角形の斜辺 c と直角を挟む2辺 a、b の関係は c²=a²+b²で表される。
• 例：a=3, b=4の場合、c²=3²+4²=9+16=25、したがって c=5。

一辺しかわからない場合の条件と解法

• 条件：
  1. 角度（例：30°や45°）が与えられている。
  2. 特殊な直角三角形（1:1:√2 や 1:√3:2）の比率を利用する。
  3. 他の図形情報（補助線など）を活用する。
• 比率を活用：
  • 有名な比「ピタゴラス数」：
    • 3:4:5
    • 5:12:13
    • 8:15:17
  • 特殊な直角三角形：
    • 30°−60°−90°：1:√3:2
    • 45°−45°−90°：1:1:√2

例題を通した解法の実践

1. 例題1：
   • a=6,b=8 の直角三角形では、斜辺は 10（3:4:5 の2倍）。
2. 例題2：
   • 1辺=51, 角度=30°の直角三角形では、斜辺=10、もう1辺=5√3。
3. 例題3：
   • 1辺=7, 角度=45°では、他の2辺は 7 と 7√2。

直角三角形を見つけるコツ

1. 図中の直角マークを見逃さない。
2. 複雑な図形では補助線を引いて直角三角形を作る。
3. 斜辺（最も長い辺）を見つける。

応用問題

• 空間図形：
  • 直方体の対角線を求めるには三平方の定理を2回使用。
  • 底面の対角線を計算し、それを用いて全体の対角線を計算。

計算のポイント

1. 平方根の簡約（例：√50=5√2）。
2. 分母の有理化（例：1/√2=√2/2）。
3. 途中式を省略せず、丁寧に計算。

頻出の比と覚え方

• 覚えるべき比：
  • 3:4:5
  • 5:12:13
  • 1:1:√2
  • 1:√3:2
• 語呂合わせで記憶を補助。

練習問題

• 問題例：
  • a=9,c=15のとき、もう1辺 b は 12（計算に基づく解法）。