今日のテーマは「自然数と整数の違い」。

授業や宿題で「これって自然数？整数？どっちだろう？」と迷った経験、ありませんか？

この記事では、自然数と整数の基本的な定義から、それぞれの特徴や使い分けまで、徹底的に解説します。

途中には簡単な計算例や図解も入れていくので、一緒に学びながら理解を深めていきましょう！

自然数と整数の違い：定義から具体例まで完全ガイド

自然数と整数、この2つの言葉は数学の基礎中の基礎です。でも、違いを明確に説明するとなると意外と難しいですよね。まずはそれぞれの定義や範囲を学び、その違いを比較してみましょう！

自然数と整数の具体的な違い：わかりやすい図解

自然数と整数の違いを一言で表すなら、こうなります。

  • 自然数：1, 2, 3, …（「正の整数」だけを含む）
  • 整数：…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …（「負の数、0、正の整数」を含む）

つまり、自然数は整数の一部なんですね。

図で確認してみよう

自然数と整数の関係を円で表すと次のようになります。

引用：Ameba塾さがし 様

この図のように、自然数は整数の中に含まれている「正の整数」のグループなんです。

自然数とは？定義と特徴をわかりやすく解説

自然数の定義はシンプルです。「1, 2, 3, …」のように、物を数えるときに使う正の整数が自然数です。

ここでポイントとなるのは次の2点です。

  1. 自然数には「小数」「分数」は含まれない
  2. 自然数には「負の数」や「0」も含まれない

具体例

  • リンゴが3個ある → 自然数：3
  • 友達が2人来た → 自然数：2

では、「0は自然数なの？」と思った人もいるかもしれませんね。これについては次の小見出しで解説します。

整数とは？負の数・0・正の数の集合を理解しよう

次に整数について説明しましょう。整数は「負の数」「0」「正の数」を含む集合です。

つまり、次のような数がすべて整数です。

  • …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

具体例

  • -3：借金の金額を表すときなど
  • 0：何もない状態を示すとき
  • 5：正の数として物を数えるとき

整数には、自然数に含まれない「負の数」や「0」も含まれるので、範囲が広いことがわかります。

自然数に0は含まれるのか？

学校の数学では、0は自然数に含まれないと教えられます。

0は自然数なのか？0は自然数に含まれるかを塾長が解説

しかし、大学数学やプログラミングの分野では「0を自然数に含める」場合もあります。なぜでしょうか？

理由1：定義の違い

  • 学校では「自然数＝1以上の整数」と教えられる
  • 大学数学やプログラミングでは「自然数＝0以上の整数」とすることがある

理由2：便利さの違い

プログラミングでは、0から数えることで処理が簡単になります。そのため、0を自然数に含めるのが一般的です。

自然数と整数の使い分け

最後に、自然数と整数の使い分けについて具体的に学びましょう。

自然数を使う場面

  • 物の個数を数えるとき（例：リンゴが3個ある）
  • 順番を表すとき（例：1番目の人）

整数を使う場面

  • 気温の変化を表すとき（例：-5℃）
  • 借金や残高を計算するとき（例：残高が-1000円）

自然数は「正の数」だけを扱いますが、整数は「正負の数」や「0」も含むので、より広い状況に対応できます。

自然数と整数の違い：数全体の関係【有理数・無理数・実数】

ここでは、自然数や整数をさらに広げて、数全体の関係について学びます。

数全体の集合！有理数・無理数・実数

自然数や整数は数全体の一部です。

まず、数全体の範囲を整理してみましょう。

引用：数学FUN様

  • 有理数：整数や分数など、分数で表せる数（例：3, 1/2, -4）
  • 無理数：分数で表せない無限小数（例：√2, π）
  • 実数：有理数と無理数を合わせた数（数直線上に表せるすべての数）

このように、自然数や整数は数全体の一部に過ぎないのです。

実数と複素数の違い

実数と複素数の関係を整理してみましょう。

  • 実数：数直線上で表せるすべての数（整数、有理数、無理数を含む）
  • 複素数：実数に「虚数」を加えたもの（例：3+2i 、−5i）

引用：高校数学の発展 さま

実数と整数の関係

実数には整数や自然数が含まれます。一方で、複素数は「数直線上では表せない数」であり、より広い数の範囲を扱います。

具体例

  1. 3：実数であり、整数、自然数でもある
  2. √2​：無理数であり、実数に含まれるが、整数でも自然数でもない
  3. 3+2i：複素数であり、実数には含まれない

整数と自然数は有理数？無理数？

次に、有理数と無理数の違いを詳しく見ていきましょう。

  • 有理数：分数で表せる数（例：3/4,−2,0,5）
  • 無理数：分数で表せない数（例：√3,π）

整数と自然数はすべて有理数に含まれますが、無理数には含まれません。

具体的な確認

  • 整数の例：−5,0,4 → すべて有理数（分数で表せる）
  • 自然数の例：1,2,3 → 有理数に含まれる
  • 無理数の例：√5 → 有理数にも整数にも自然数にも含まれない

数の集合と四則計算の関係

数の集合ごとに、四則計算（足し算、引き算、掛け算、割り算）が成り立つか確認してみましょう。

自然数の場合

  • 足し算：常に自然数（例：2+3=5）
  • 引き算：自然数にならない場合がある（例：3−5=−2）
  • 掛け算：常に自然数（例：2×3=6）
  • 割り算：自然数にならない場合がある（例：3÷2=1.5）

整数の場合

  • 足し算：常に整数（例：−2+3=1）
  • 引き算：常に整数（例：−5−(−3)=−2）
  • 掛け算：常に整数（例：−3×2=−6）
  • 割り算：整数にならない場合がある（例：−4÷3=−1.333）

数全体の使い分け方を実生活に応用

最後に、自然数、整数、有理数、無理数をどのように使い分けるかを日常生活で考えてみましょう。

  • 自然数を使う場面：人数や物の個数を数えるとき
  • 整数を使う場面：温度（-5℃）、借金（-100円）、高度（-20m）
  • 有理数を使う場面：料理の分量（1/2カップ）、速度（20.5 km/h）
  • 無理数を使う場面：建築設計（円周率π）、三角形の辺の長さ（√2​）

総括：自然数と整数の違いまとめ

最後に、本記事のまとめを残しておきます。

自然数と整数の定義と違い

  • 自然数は「1, 2, 3, …」などの正の整数のみを含む。
  • 整数は「…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …」など、負の数・0・正の整数をすべて含む。

自然数の特徴

  • 小数や分数は含まない。
  • 0は自然数に含まれない（ただし、大学数学やプログラミングでは含む場合もある）。

整数の特徴

  • 負の数、0、正の整数を含む。
  • 小数や分数は含まない。

自然数と整数の使い分け

  • 自然数：物の個数や順序を数えるときに使う。
  • 整数：気温の変化や借金、残高など正負を考慮する場面で使う。

数全体の関係

  • 自然数は整数の一部であり、有理数、実数に含まれる。
  • 有理数は整数や分数などを含む。
  • 無理数は分数で表せない無限小数（例：√2、π）。
  • 実数は有理数と無理数を合わせたもの。
  • 複素数は実数に虚数を加えたもの。

自然数と整数における四則計算の成否

  • 自然数：
    • 足し算・掛け算は自然数内で成り立つ。
    • 引き算・割り算では自然数から外れる場合がある。
  • 整数：
    • 足し算・引き算・掛け算は整数内で成り立つ。
    • 割り算では整数から外れる場合がある。

日常生活での使い分け例

  • 自然数：人数や物の個数。
  • 整数：温度、借金、高度。
  • 有理数：料理の分量、速度。
  • 無理数：建築設計や数学的な計算。

総括

  • 自然数と整数の違いを理解することで、数学的な基礎をしっかり固められる。
  • 数全体の関係を把握することで、さまざまな場面で正確な数値表現ができるようになる。