こんにちは、塾長です！
今日は中学数学でとても大切な「単項式とは何か」について一緒に学んでいきましょう。
単項式と聞くと「難しそう…」と思うかもしれませんが、実は基本さえ押さえれば簡単なんです。そして、多項式との違いも理解しておくと、テストでの得点力がグッとアップしますよ！
この記事では具体例や計算問題を通して、わかりやすく丁寧に解説していきます。
一緒に楽しく学びながら、数学への苦手意識をなくしましょう！
単項式とは？基本解説&多項式との違い
単項式とは、数や文字が掛け算（乗法）だけでつながった形の式を指します。簡単に言うと、「足し算や引き算がない式」です。たとえば以下のようなものが単項式です。
単項式の例
- 3x
- −5a
²b - 2/7c
これらには足し算や引き算が含まれておらず、数字と文字が掛け算だけで構成されていますね。
単項式の特徴
単項式の特徴をもう少し詳しく見てみましょう。
- 数字（係数）が含まれる
例：4x の場合、4が係数です。 - 文字（変数）が掛け算で結ばれている
例：x²y は xが2回、y が1回掛けられています。 - 足し算や引き算は含まれない
例：5a+b は足し算があるため単項式ではなく、多項式になります。
具体例で確認しよう
次の式が単項式かどうか考えてみましょう。
- 7x³y
- 4a+b
- −2c
²d³ - x−y
答え：
- 1は単項式です。掛け算だけで構成されています。
- 2は多項式です。足し算（+）が含まれています。
- 3は単項式です。掛け算のみで構成されています。
- 4は多項式です。引き算（−）が含まれています。
単項式の要素：係数と次数
係数とは？
単項式における「数字の部分」を係数といいます。たとえば、次の例を見てみましょう。
- 5x
²: 係数は「5」 - −3xy: 係数は「-3」
- 1/2z³: 係数は「1/2」
次数とは？
次数は、掛け合わされている文字の個数の合計を指します。具体的に見てみましょう。
例：
- 5x
²:- x が2回、y が1回掛けられているので、次数は 2+1=3。
- −3z⁴:
- 7:
- 文字が含まれていないので、次数は0。
計算例でさらに確認！
次の単項式の係数と次数を求めてみましょう。
- 8x³y
² - −13a³b
²
解答：
- 8x³y
²:- 係数は「8」。
- x が3回、y が2回掛けられているので、次数は 3+2=5。
- −13a³b
²:- 係数は「−13」。
- a が3回、b が2回掛けられているので、次数は 3+2=5。
多項式とは何か？
単項式が1つだけの式に対し、多項式は単項式が足し算や引き算でつながった式を指します。
多項式の例
- x
²+5x−3: 項が3つある多項式。 - a
²−b+4: 項が3つある多項式。
各項は単項式で構成されていますが、足し算や引き算でつながっているため「多項式」と呼ばれます。
多項式の次数と項
多項式では、各項の次数の中で最も大きいものをその多項式の次数とします。
例：
- x³+2x
²−x+1: 各項の次数は3, 2, 1, 0なので、多項式全体の次数は3。
単項式と多項式の違い
単項式と多項式の違いをまとめると以下のようになります。
| 特徴 | 単項式 | 多項式 |
|---|---|---|
| 構成 | 1つの項のみ | 複数の項 |
| 演算の種類 | 掛け算のみ | 足し算や引き算を含む |
| 例 | 5x², −3a | x²+3x−4 |
計算問題で確認しよう！
問題：
次の式を整理し、それぞれの項の係数と次数を求めてみましょう。
- 2x
²+3x−7 - −x³+5x
²−x
解答：
- 2x
²+3x−7:- 項1:2x
², 係数=2, 次数=2 - 項2: 3x, 係数=3, 次数=1
- 項3: −7, 係数=-7, 次数=0
- 項1:2x
- −x³+5x
²−x:- 項1: −x³, 係数=-1, 次数=3
- 項2: 5x
², 係数=5, 次数=2 - 項3: −x, 係数=-1, 次数=1
単項式とは何か分かったら：乗法や除法の計算のコツ
ここでは、単項式と多項式の具体的な計算方法を詳しく見ていきます。基本ルールを押さえておけば、複雑な式も簡単に解けるようになりますよ！
単項式同士の乗法のポイント
単項式同士を掛け算する場合、数字（係数）は掛け算し、文字は指数法則を使うだけです。具体的に例を見てみましょう。
例題：
次の単項式同士を掛け算しなさい。
(3x²y)×(−2xy³)
解答：
- まず、数字（係数）同士を掛け算します。
3×−2=−6 - 次に、文字ごとに指数を足します。
- x: 2+1=3
- y: 1+3=4
したがって、答えは−6x³y⁴(乗)です。
単項式と多項式の乗法をマスターしよう
単項式と多項式を掛け算する場合、分配法則を使います。
例題：
次の式を計算しなさい。
2x×(3x²−4x+5)
解答：
- 単項式 2x を多項式の各項に掛け算します。
- 2x×3
²=6x³ - 2x×−4x=−8x
² - 2x×5=10x
- 2x×3
- それぞれをまとめて書くと、6x³−8x
²+10
答えは、6x³−8x²+10 です。
多項式同士の乗法における分配法則
多項式同士の掛け算は、1つの多項式の各項をもう一方の多項式の各項に掛けて整理します。
例題：
次の多項式を掛け算しなさい。
(x+3)(x²−2x+4)
解答：
- x を x
²−2x+4 の各項に掛ける。- x
²×x=x³ - x×−2x=−2x
² - x×4=4x
- x
- 3 を x
²−2x+4 の各項に掛ける。- 3×x
²=3x² - 3×−2x=−6x
- 3×4=12
- 3×x
- それらをまとめる。 x³−2x
²+4x+3x²−6x+12 - 同類項を整理する。 x³+x
²−2x+12
答えは、x³+x²−2x+12 です。
降べきの順に整理するコツ
多項式を計算した後、降べきの順に並べると見やすくなります。降べきの順とは、次数の高い項から低い項へ並べる方法です。
例題：
次の式を降べきの順に整理しなさい。
5x−2x³+x²−7
解答：
- 次数を確認します。
- −2x³: 次数3
- x
²: 次数2 - 5x: 次数1
- −7: 次数0
- 高い次数から順に並べる。 −2x³+x
²+5x−7
答えは、−2x³+x²+5x−7 です。
総括：単項式とは何かまとめ&多項式との違い
最後に、本記事のまとめを残しておきます。
単項式について
- 定義: 数や文字が掛け算だけで構成された式。足し算や引き算は含まれない。
- 特徴:
- 数字部分は「係数」と呼ぶ。
- 文字部分の掛け算の個数を「次数」と呼ぶ。
多項式について
- 定義: 単項式が足し算や引き算でつながった式。
- 特徴:
- 各単項式を「項」と呼ぶ。
- 多項式全体の「次数」は、各項の中で最も高い次数
単項式と多項式の違い
- 単項式:
- 項が1つだけ。
- 多項式:
- 項が複数あり、足し算や引き算を含む。
計算のコツ
- 単項式同士の乗法:
- 係数を掛け算し、文字の指数を足す。
- 単項式と多項式の乗法:
- 分配法則を適用。
- 多項式同士の乗法:
- 分配法則で各項を掛け合わせる。
降べきの順に整理する
- 定義: 次数が高い順に項を並べる方法。
全体のポイント
- 単項式は掛け算のみ、多項式は足し算や引き算を含む。
- 計算では、分配法則や指数法則を活用。
- 計算結果を降べきの順に整理すると見やすい。